第五章 - 超静定结构的内力和位移计算（一）
发布时间：2020-03-22 21:55来源：未知
第5章 超静定结构的内力和位移计算
（一）复习建议
本章在历年考试中，本章在历年考试中，处于非常重要的地位，建议学员全面掌握,重点复习。从题型来讲包括单项选择题、填空题、以及计算题的题型，而且需要熟记梁杆端内力、以及各种方法中涉及的相关知识点。
（二）本章重要知识点
第一节 概述
一、超静定结构的性质（与静定结构相比）
1、几何构造：
静定结构：几何不变无多余约束的体系。其反力和内力只凭静力平衡方程就能确定。
超静定结构：几何不变有多余约束的体系。其反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定。
2、静力特征：
（1）静定结构： 。
超静定结构：求内力和反力，除了静力平衡条件外，还需要借助于变形条件。
（2）静定结构：其内力、支座反力仅与荷载作用情况有关，与其他（支座移动、温度改变、制造误差）均无关，在各种因素作用下，可能发生变形体体系位移，也可能发生刚体体系位移。
超静定结构：荷载作用、支座移动、温度改变、制造误差等一般均引起内力、支座反力，发生变形体体系位移。
二、超静定次数的确定：静定次数 ： =多余约束的总个数。
通过几何组成分析，确定超静定次数 ；或者去掉超静定结构的多余约束，使其成为静定结构，则去掉多余约束的个数即为该结构的超静定次数。
注意：○1去掉的约束为多余约束，不能为必要约束；○2所有的多余约束都得去掉。即去掉多余联系的方法有多种，但所得到的必须是几何不变且无多余约束的体系（静定结构）；几何可变、瞬变均不可以。
例：试确定图示结构的超静定次数 。
【答案】（a）n=2；（b）n=4；（c）n=5
【解析】（a）静定多跨，刚架，支座A、B多余，所以n=2。
（b）去掉一个复铰，得到3个静定刚架，所以去了 个约束，n=4。
（c）一根连续不断的杆只需要一个固定端即可以固定，所以n=5。
第二节 力法
★一、荷载作用下力法解题步骤及注意事项
（1）判定n=？，画基本体系；
①在第三步中要做基本结构的弯矩图，所以要选相对简单一些的基本结构，如：梁——简支梁、悬臂梁、外伸梁；刚架——简支刚架、悬臂刚架；；
②基本结构必须为静定结构。
（2）写力法基本方程；
①条件：变形（协调）条件——基本体系在未知力方向上的位移与原结构相同。
②方程的写法（两个脚下标）：依次为行——方向；列——原因。
（3）求系数、自由项；
①作基本结构的弯矩图：已知荷载单独作用下的 图；每一个未知力 单独作用下的 图；
②物理意义：系数 ——柔度系数；自由项（常数项） 。（第一个脚下标表示方向，第二个脚下标表示原因）
③求解： ； ——“方向与原因图乘”；
④性质：主系数 ，恒大于零；副系数 ——位移互等定理。
（4）解方程，求未知量；
（5）绘内力图： 。
例：用力法作下列刚架的弯矩图。
解：①n=1，画基本体系
②写力法基本方程
③求系数、自由项
④解方程，求未知量
⑤作弯矩图：
二、支座位移作用下力法知识点
（1）判定n=？，画基本体系；
①基本结构承受的作用因素有多余约束力和强迫基本结构中的支座发生的支座移动；
②基本结构必须为静定结构。
（2）写力法基本方程；
①条件：变形（协调）条件——基本体系在未知力方向上的位移与原结构相同。
②方程的写法（两个脚下标）：依次为行——方向；列——原因。
（3）求自由项；
①自由项（常数项） 。（第一个脚下标表示方向，第二个脚下标表示原因）；
② 的求解：令 单独作用于基本结构上，求基本结构的支座反力；列 ，求出 。
三、温度改变时，力法知识点
（1）判定n=？，画基本体系；
①基本结构承受的作用因素有多余约束力和温度改变；
②基本结构必须为静定结构。
（2）写力法基本方程；
①条件：变形（协调）条件——基本体系在未知力方向上的位移与原结构相同。
②方程的写法（两个脚下标）：依次为行——方向；列——原因。
（3）求自由项；
①自由项（常数项） 。（第一个脚下标表示方向，第二个脚下标表示原因）；
② 的求解：令 单独作用于基本结构上，作基本结构的 ；列， ，求出 。
★第三节 位移法
一、记住表5-1单跨超静定梁在荷载或支座位移作用下的杆端力
结合后面章节的应用，有如下规定或定义：
1、线刚度 。
2、弯矩： 表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言，绕杆件顺时针转为正，逆时针转为负；对结点而言，绕结点顺时针转为负，逆时针转为正。
2、剪力： 表示AB杆A端的剪力。正负号规定同前。
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端剪力。用 、 、 、 表示。
4、角位移：顺时针为正，逆时针为负。
5、垂直于杆轴线方向相对线位移：使杆件有顺转趋势为正，否，为负。
二、荷载作用下位移法解题步骤及注意事项
1、判断基本未知量，画基本体系；
（1）位移法基本未知量：内部结点的独立角位移和独立线位移。
（2）明确：
①刚结点无相对位移（特别注意：无相对角位移），但存在绝对位移。
②位移法计算时，梁式杆默认的只考虑弯曲变形，（不考虑轴向变形），除非题目另有规定。
注意：内部铰结点的角位移，规定不作为位移法的基本未知量。
（3）如何确定基本未知量
①独立角位移：一个刚结点（组合结点）就有一个独立的角位移。
②独立线位移：
a由两个已知不动点（无线位移的点）所引出的不共线的两杆交点也是不动点（前提，不考虑轴向变形）。
b把刚架所有的刚结点（包括固定支座）都改为铰结点，如此体系是一个几何可变体系，则使它变为几何不变体系所需添加的链杆数目即等于原结构的独立线位移数目。
例：确定下列图示结构基本未知量的个数。
【答案】（a）2；（b）1；（c）2；（d）1
【解析】（a）内部有两个刚结点，所以有2个角位移，但无线位移。
（b）一个刚结点B有1个角位移，而后，忽略轴向变形，B有两个不动点固定下来，所以A、B无水平方向线位移，竖向也无线位移，所以有1个未知量。
（c）桁架杆AB考略轴向变形，故A、B水平方向各自有一个线位移，所以有2个未知量。
（d）因为桁架杆EA无穷大，所以不考虑轴向变形，A、B、C水平方向有一个线位移。所以有1个未知量。
（4）基本结构：针对未知量加附加约束
附加约束
2、写位移法基本方程；
（1）条件：
平衡条件——基本体系中附加约束所产生的附加约束力=0（原结构中无附加约束）。
（2）方程的写法（两个脚下标）：
依次为行——方向；列——原因。
3、求系数、自由项
（1）作基本结构的弯矩图：绘单位弯矩图、荷载弯矩图；即，每一个未知位移 单独作用下的 图；已知荷载单独作用下的 图。
（2）物理意义：系数 ——刚度系数；自由项（常数项） （第一个脚下标表示方向，第二个脚下标表示原因）。
（3）求解：
刚臂产生的附加约束力——以带刚臂的结点为研究对象——弯矩平衡；
链杆产生的附加约束力——以“链杆所约束的杆”为研究对象——链杆方向平衡；
注意：求同一方向（或说同一附加约束）的附加约束力，研究对象相同。
（4）性质：主系数 ，恒正；副系数 ——反力互等定理。
4、解方程，求未知量；
5、作弯矩图： 。
例：用位移法计算如下刚架，并做弯矩图。
解析：解：①基本未知量： ，令
②写位移法基本方程
③求系数、自由项
④解方程，求未知量
解之得
⑤作弯矩图：
