第二章  矩阵
一、复习建议
本章主要介绍矩阵，矩阵的计算，由于矩阵在线性数学中的地位，本人认为本章内容在历年考试中，应该处于相对重要的地位，建议学员全面掌握,重点复习。从题型来讲包括单项选择题、多项选择题、判断题、以及综合题的不定项选择题的题型均有可能。
二、本章重要知识点
第一节 矩阵的定义
（一）矩阵的定义
      注意矩阵和行列式的书写区别  定义区别
（二）特殊矩阵
      对角矩阵除主对角线元, 其余元都是0的方阵 称为对角矩阵. (如教材52页)
      单位矩阵
      数量矩阵就是主对角线上元素都是同一个数值，其余元素都是零。
      主对角线上的元素都为1，其余元素全为0的n阶矩阵称为n阶单位矩阵(如教材52页)
      上下三角矩阵
     在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。(如教材52页)
       对称矩阵元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。(如教材52页)
 
 
第二节 矩阵的计算
 
（一）矩阵的加减运算
 
   加减法法则 加法法则对应元素相加即可，注意点：不同型的矩阵不能加法计算。加法计算满足法则：交换律 结合律     
   例题如下：教材54页2.2,该题是一个非常简单的矩阵减法运算,需要计算的两个矩阵分别是两个2阶方阵,很显然,满足加减法法则要求,具体的做法就是按照加减法法则计算即可.一种途径将两个矩阵的对应元素相减;另外一种方法先求矩阵B的负矩阵即将其所有元素加负号,然后和A矩阵对应元素相加.
  注意：减法同加法  掌握负矩阵的概念
（二）矩阵的乘法运算
法则：只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义。一个m×n的矩阵a（m,n)左乘一个n×p的矩阵b（n,p)，会得到一个m×p的矩阵c（m,p)，满足
C 的第i行第j列的元素 = A的第i行的各元素分别B的第j列的各元素之和，请看下列例题：
 
例   设求AB与BA ．
解.AB=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n ,而
 
 
矩阵的乘法具有下列基本性质：
1.结合性 （AB)C=A(BC）．
2.对加法的分配性 （A+B)C=AC+BC，C(A+B）=CA+CB ．
3.对数乘的结合性 k(AB）=（kA)B =A(kB）．
但是，一般说来, 矩阵的乘法是不可交换的,如上述习题所计算的。
 
（三）矩阵的幂运算
     矩阵的幂： ，，，。
     例：证明
 
     证：用数学归纳法进行证明： 时，显然成立，假定时成立，则时


从而结论成立。
      (四)转置
       设 ，记
则称 是的转置矩阵。显然， ① ，② ，③ ，④
（五）矩阵的除法运算-逆矩阵
    
      1.定义
  可逆矩阵是线性代数中的一个矩阵，其定义为在线性代数中，给定一个 n 阶方阵A，若存在一n 阶方阵B， 使得AB=BA=E（或AB=E、BA=E 任满足一个），其中E 为n 阶单位矩阵，则称A 是可逆的，且B 是A 的逆阵，记作 A^(-1)。
 
 
    2.逆矩阵具有以下性质：
      （1）矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。 
（2） 可逆矩阵一定是方阵。 
（3）如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。}测评题7结束
 
 
 
 
 
 
     3.  伴随矩阵
     矩阵A的伴随矩阵可按如下步骤定义：
    1.把A的各个元素都换成它相应的代数余子式；
2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵，如教材71页例题2.17 和 2.18,这两个例题都是联系伴随矩阵的求解,我们这里重点讲解例题2.17. 这个例题给出一个2阶方阵,按照行对应元素分别为 2   5; 1    3 .按照伴随矩阵的定义,先求出这四个元素的代数余子式,分别为  3  -1  -5  2, 同时按照原来对应元素位置
不变组成新矩阵,然后 新矩阵转置就是伴随矩阵. 因此,伴随矩阵按照行来讲,对应元素应该为 3 -5 -1 2.
4.逆矩阵计算
 
A^-1=A^＊=
 

	伴随矩阵

 
 
 
 

例题  求矩阵A=的逆矩阵。
解  第一步验证是不是有逆矩阵,方法计算detA=,这里detA不为零,所以A是可逆的。接下来计算逆矩阵的数值,具体方法按照逆矩阵定义
    
 
 
    
 
 
 
 
    
 
 
所以A^-1=A^＊=
=
 
 
 
 
第三节  矩阵的分块
 
 
 
一个分块矩阵或是分段矩阵就是将矩阵分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。
分块矩阵的计算   请注意阅读教材63-64中2.3.2 分块矩阵的运算法则
 
 
 
第四节 矩阵的初等变换和初等矩阵
 
（一）矩阵的初等行变换
     定义1  矩阵的初等行变换是指对矩阵施行如下三种变换：
    （1）交换矩阵两行
    （2）用一个非零数乘以矩阵的某一行；
    （3）把矩阵的某一行乘以数后加到另一行上去。
     称变换（1）为对换变换，交换两行记为（ , ）；
 

     称变换（2）为倍乘变换，乘第行，记为 ；
     称变换（3）为倍加变换，第行乘以后加到第行上，记为 + ；
 

说明：上面最后一个行列式的最后一行 0  2  -1 应该为 0  0 -1
（二）矩阵的等价标准型
     如果矩阵B可以由A经过一系列初等变换得到, 那么矩阵A与B是等价的。经过多次变换以后，得到一种最简单的矩阵，就是这个矩阵的左上角是一个单位矩阵，其余元素都是0，那么这个矩阵就是原来矩阵
 
的等价标准型。如教材81页例题2.26,该例题主要是给出一个3X4矩阵,让你运用矩阵的初等变化将其转化为一个简单的单位矩阵,即等价标准型.计算过程很简单,就是运用简单的三种初等变换.