第三章  向量空间
一、复习建议
本章内容相对比较抽象,学习过程中要注重教师讲解和概念理解。从题型来讲,选择题、计算题均有可能出现,因此,都要加以练习。本章节的主要脉络是 向量之间关系包括线性相关和无关等,最大无关向量组和其应用,秩和向量正交等概念.
二、本章重要知识点
第一节  向量空间
本节主要是概念学习
 （一）n维向量定义
      （1）n维向量,列向量,横向量,无特殊说明向量指的是列向量.
      （2）向量零向量和负向量  加法和数乘法
 
（二）向量运算法则
          向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w,
          向量加法交换律：u + v = v + u，
          存在向量加法的单：V里存在一个叫做零向量的元素，记作0，使得对任意u ∈ V，都有u + 0 = u，
          向量加法的反元素：对任意u ∈ V，都存在v ∈ V,使得u + v = 0。
           纯量乘法对向量加法满足分配律：a · (v + w) = a ·v + a ·w.
           纯量乘法对体加法满足分配律：(a + b) ·v = a ·v + b ·v.
           纯量乘法与纯量的体乘法相容：a(b ·v) = (ab) ·v.
          纯量乘法有单位元素：体F的乘法单位元素「1」满足：对任意v，1 ·v = v。
 
（三）向量空间
          设V是由一些n维向量组成的向量集合，如果V关于向量的线性运算满足：
          (1) 对于V中任意两个向量a1，a2，和向量 a1+a2 也是V中的向量;
          (2) 对于V中任意向量 a 及任常数k，数量乘积也是V中的向量,
则称V是一个向量空间。
 
 
第二节  线性关系
 
（一）向量的线性组合即线性相关和无关的定义
 
在线性代数里，向量空间的一组元素如果其中没有向量可表示成有限个其他向量的线性组合称为线性无关，反之称为线性相关。
（二）线性相关和线性无关法则
       定理1 向量组a1,a2,a3….an 线性相关的充分必要条件是存在不全为零的常数k1, k2,      kn,使得a1 k1+ k2a2+k3a3…+ kn an=0.
       定理2 向量组a1,a2,a3….an 线性无关的充分必要条件是仅当常数k1= k2=      kn=0,使得
a1 k1+ k2a2+k3a3…+ kn an=0.
       定理3 若a1,a2,...,as线性无关，而b,a1,a2,...,as线性相关，则b必可由a1,a2,...,as线性表示，且表示系数唯一。
       定理4 若一向量组相关，则加上任意个向量后，仍然线性相关；即局部线性相关，整体必线性相关。
整体线性无关，局部必线性无关。
       定理 5 设向量组a1,a2,...,as ϵ Rⁿ, 则下列结论成立:
              (1) a1,a2,...,as线性相关 齐次线性方程组x₁a₁+x₂a₂     +x_sa_s=0有非零解;如果无关,则有零解
              (2) a1,a2,...,as线性相关系数矩阵的秩小于s；如果线性无关，则等于s；
             （3）如果s=n，则a1,a2,...,as线性相关系数矩阵对应行列式等于零；如果无关则系数矩阵对应行列式不等于零
             （4）如果s大于n，则a1,a2,...,as线性无关
 
典型习题
设向量组线性无关, 又设, 证明向量组也线性无关.
证明: 设有使 ，即 ,
因为线性无关, 故有

此线性方程组只有零解 , 也即向量组线性无关.
 
 
 
第三节  向量组的极大线性无关组
（一） 定义
     A  设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果
      (1) α₁,α₂,...α_r 线性无关；
      (2)从S中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关，那么α₁,α₂,...α_r 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组。
 
     B 基本性质
       性质 1 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
       性质 2 一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。
       性质 3 若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。
 
 
     C 相关定理：
       定理 1 设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组，如果
             （1）向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出，
             （2）r>s, 那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关。
       推论 1 如果向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出，且a1,a2,…,ar线性无关，那么r≤s。
       推论 2 任意n+1个n维向量必线性相关。
       推论 3 两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量。
       定理 2 一向量组的极大线性无关组都含有向量的个数相同。
       定理 3 一向量组线性无关的充分必要条件是，它的秩与它所含向量的个数相同。
       推论 4 等价的向量组必有相同的秩。
 
（二）向量组的秩
      向量組的秩即為向量組中的任一最大線性無關組所含有的向量個數。舉例來說，設有一向量組，若存在r個向量，且r個向量為向量組的最大線性無關組，則此最大線性無關組的向量個數r，即為向量組的秩。
 
 
（三）求解向量组的无关向量组   
 
 
第四节  向量组的秩和矩阵的秩
 
     在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。
     相关定理：
     设A为mXn矩阵，其秩为k的充要条件是行秩和列秩均等于k。
     初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。
 
所以，==2。

一般地， 有=。