第五节  正交矩阵
一 内积概念
     (1) 已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有a·b=x1x2+y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
      *内积相关性质请参阅教材
    （2）向量的长度(或者模) 向量长度就是表示这个向量的线段的长度 若向量的坐标是(x,y) 它的长度=√﹙x²＋y²﹚
     （3）向量的单位化: 注意: 关于上述概念的性质请参阅117页教材，要求会单位化计算。
     （4）向量正交  内积为零
     （5）正交向量组  一组向量，组内向量两两正交
     （6）单位正交向量组  正交向量组内的向量都是单位向量
 
   （7）正交矩阵
    如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A′A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵， 若A为单位正交阵，则满足以下条件:
    1。 A^T是正交矩阵
    2。 （E为单位矩阵）
    3。A的各行是单位向量且两两正交
    4。 A的各列是单位向量且两两正交
    5。(Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
6。|A| = 1或-1
 
 
二  相关定理
    1. 方阵A正交的充要条件是A的行（列) 向量组是单位正交向量组；
    2. 方阵A正交的充要条件是A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基；标准正交基定义见教材118页
3. A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
 
    4. A的列向量组也是正交单位向量组。
    5.如果是正交向量组，则组内向量之间线性无关。
*特别提示: 教材120-121页施密特正交化方法
三、本章小节
本章很重要，主要介绍通过线性相关和无关引出秩和正交的概念，这些对于矩阵的进一步应用如求解方程组等都至关重要，必须详细学习，难点表现这些概念比较抽象，不容易理解，这些通过多作习题可以逐步掌握。总的来说要求掌握如下技能：熟练运用线性相关和无关定义和定理判断向量之间关系；熟练记忆基础性的定义如正交，秩等；熟练求解矩阵的秩和极大无关向量组；掌握正交矩阵的概念和数量判定的定理。