第四章 - 线性方程组
发布时间：2020-03-24 16:47来源：未知
第四章 线性方程组
一、复习建议
本章内容主要是前三章知识的一个应用。重点掌握求解方程组的解即可。从题型来讲主要是计算题。
二、本章重要知识点
（一）高斯消元法
高斯消元法可用来找出下列方程组的解或其解的限制：
2x + y - z = 8 (L1)
-3x - y + 2z = -11 (L2)
-2x + y + 2z = -3 (L3)
基本思路:
首先，要将L1 以下的等式中的x 消除，然后再将L2 以下的等式中的y 消除。这样可使整个方程组变成一个三角形似的格式。之后再将已得出的答案一个个地代入已被简化的等式中的未知数中，就可求出其余的答案了。为此，我们作如下操作：
L2 + 3/2 L1→ L2
L3 + L1 → L3
结果就是：
2x + y - z = 8 (L1)
1/2 y + 1/2 z = 1 (L2)
2y + z = 5 (L3)
现在将 − 4L2 和L3 相加，就可将L3 中的y 消除：
L3 + -4 L2 → L3
其结果是：
2x + y - z = 8
1/2y + 1/2z = 1
-z = 1
这样就完成了整个算法的初步，一个三角形的格式(指:变量的格式而言,上例中的变量各为3,2,1个)出现了。
第二步，就是由尾至头地将已知的答案代入其他等式中的未知数。第一个答案就是：z = -1 然后就可以将z 代入L2 中，立即就可得出第二个答案：y = 3之后，将z 和y 代入L1 之中，最后一个答案就出来了：x = 2。
（二）齐次线性方程组
掌握相关定理1 ：设A为m X n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩r(A)< n
齐次线性方程组有非零解的充要条件，此定理判定有解还是没有。
定理4.2 设§1，§2均为齐次线性方程组 Ax=0 的解，则§1+§2也是齐次线性方程组 Ax=0 的解
定理4.3 设§1为齐次线性方程组 Ax=0 的解，则k§1也是齐次线性方程组 Ax=0 的解
定义：设§1，§2。。。。。。。。§t是齐次线性方程组 Ax=0 的一组解，如果满足：
（1）§1，§2。。。。。。。。§t线性无关；
（2）Ax=0 的任意解均可以由§1，§2。。。。。。。。§t线性表示；
则§1，§2。。。。。。。。§t为齐次线性方程组 Ax=0 的一组基础解系。从而齐次线性方程组 Ax=0 的通解为
C1§1，c2§2。。。。。。。。ct§t
定理4.4设A为m X n矩阵，系数矩阵A的秩r(A)< n，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n-r个解向量构成。如果系数矩阵A的秩r(A)=r，则方程组Ax=0的任意n-r个线性无关的解均为Ax=0的一个基础解系。
定理4.2，定理4.3， 4.4以及上述定义是 确定齐次线性方程组非零解的形式。
（三）齐次线性方程组的基础解系的求解
第一步：将n元齐次线性方程组的系数矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；
第二步：求出r(A).若r (A)=n,则AX＝0只有零解，若r (A)= r < n，则进行下一步；
第三步：写出阶梯形矩阵B所对应的与原方程组同解的阶梯形方程组形如
(这里假设位于A的左上角的r阶子式不等于零.)
第四步：将
视为自由未知量，移至方程右端并逐步回代可得方程组的一般解为
其中
为任意实数.
第五步：将
取下列n－r组值：
可得n－r个解向量
则
就是AX＝0的一个基础解系.
{例1 求下列方程组的基础解系，并写出结构式通解.
解 用初等行变换将系数矩阵化为阶梯形：
→ 
→ 
→
于是得方程组的一般解为
令
，得 
，
令
，得 
，
故原方程组的基础解系为
原方程组的结构式通解为 
，(其中 
).
（四）非齐次线性方程组
（1）掌握相关定义
1 非齐次线性方程组，系数矩阵和增广矩阵的概念。
2 基本定理
（1）非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等；
（2）非齐次线性方程组解的结构定理
非齐次线性方程组AX＝b的通解等于它的一个特解与对应齐次线性方程组AX＝0的通解之和.
设AX＝b的一个特解为
， 
AX＝0的基础解系为 
，则AX＝0的通解为
其中
为任意实数，称(1)式为AX＝b的结构式通解。非齐次线性方程组解的详细求解方法见下面例题}
例。求线性方程组
的通解结构式，并求导出组的基础解系.
解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换：
→ 
→
→ 
→ 
所以
原方程组的同解方程组为
取
为自由未知量，解得
令
，将上面的解写成参数形式
写成向量形式
上式为方程组的通解结构式(其中
).导出组的基础解系为
一、复习建议
本章内容主要是前三章知识的一个应用。重点掌握求解方程组的解即可。从题型来讲主要是计算题。
二、本章重要知识点
（一）高斯消元法
高斯消元法可用来找出下列方程组的解或其解的限制：
2x + y - z = 8 (L1)-3x - y + 2z = -11 (L2)
-2x + y + 2z = -3 (L3)
基本思路:
首先，要将L1 以下的等式中的x 消除，然后再将L2 以下的等式中的y 消除。这样可使整个方程组变成一个三角形似的格式。之后再将已得出的答案一个个地代入已被简化的等式中的未知数中，就可求出其余的答案了。为此，我们作如下操作：
L2 + 3/2 L1→ L2
L3 + L1 → L3
结果就是：
2x + y - z = 8 (L1)1/2 y + 1/2 z = 1 (L2)
2y + z = 5 (L3)
现在将 − 4L2 和L3 相加，就可将L3 中的y 消除：
L3 + -4 L2 → L3
其结果是：
2x + y - z = 81/2y + 1/2z = 1
-z = 1
这样就完成了整个算法的初步，一个三角形的格式(指:变量的格式而言,上例中的变量各为3,2,1个)出现了。
第二步，就是由尾至头地将已知的答案代入其他等式中的未知数。第一个答案就是：z = -1 然后就可以将z 代入L2 中，立即就可得出第二个答案：y = 3之后，将z 和y 代入L1 之中，最后一个答案就出来了：x = 2。
（二）齐次线性方程组
掌握相关定理1 ：设A为m X n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩r(A)< n
齐次线性方程组有非零解的充要条件，此定理判定有解还是没有。
定理4.2 设§1，§2均为齐次线性方程组 Ax=0 的解，则§1+§2也是齐次线性方程组 Ax=0 的解
定理4.3 设§1为齐次线性方程组 Ax=0 的解，则k§1也是齐次线性方程组 Ax=0 的解
定义：设§1，§2。。。。。。。。§t是齐次线性方程组 Ax=0 的一组解，如果满足：
（1）§1，§2。。。。。。。。§t线性无关；
（2）Ax=0 的任意解均可以由§1，§2。。。。。。。。§t线性表示；
则§1，§2。。。。。。。。§t为齐次线性方程组 Ax=0 的一组基础解系。从而齐次线性方程组 Ax=0 的通解为
C1§1，c2§2。。。。。。。。ct§t
定理4.4设A为m X n矩阵，系数矩阵A的秩r(A)< n，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n-r个解向量构成。如果系数矩阵A的秩r(A)=r，则方程组Ax=0的任意n-r个线性无关的解均为Ax=0的一个基础解系。
定理4.2，定理4.3， 4.4以及上述定义是 确定齐次线性方程组非零解的形式。
（三）齐次线性方程组的基础解系的求解
第一步：将n元齐次线性方程组的系数矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；
第二步：求出r(A).若r (A)=n,则AX＝0只有零解，若r (A)= r < n，则进行下一步；
第三步：写出阶梯形矩阵B所对应的与原方程组同解的阶梯形方程组形如
(这里假设位于A的左上角的r阶子式不等于零.)
第四步：将
视为自由未知量，移至方程右端并逐步回代可得方程组的一般解为其中
为任意实数.第五步：将
取下列n－r组值：可得n－r个解向量
则
就是AX＝0的一个基础解系.{例1 求下列方程组的基础解系，并写出结构式通解.
解 用初等行变换将系数矩阵化为阶梯形：
→ → →于是得方程组的一般解为
令
，得 ，令
，得 ，故原方程组的基础解系为
原方程组的结构式通解为 ，(其中 ).（四）非齐次线性方程组
（1）掌握相关定义
1 非齐次线性方程组，系数矩阵和增广矩阵的概念。
2 基本定理
（1）非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等；
（2）非齐次线性方程组解的结构定理
非齐次线性方程组AX＝b的通解等于它的一个特解与对应齐次线性方程组AX＝0的通解之和.
设AX＝b的一个特解为
， AX＝0的基础解系为 ，则AX＝0的通解为其中为任意实数，称(1)式为AX＝b的结构式通解。非齐次线性方程组解的详细求解方法见下面例题}例。求线性方程组
的通解结构式，并求导出组的基础解系.解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换：
→ →
→ → 所以原方程组的同解方程组为
取
为自由未知量，解得令
，将上面的解写成参数形式写成向量形式
上式为方程组的通解结构式(其中
).导出组的基础解系为
