第六章  实二次型
一、复习建议
本章内容主要介绍实二次型, 二次型的标准型,二次型转换为标准型的方法等,本章节最后介绍光性定理和二次型的规范型。本章最后一节二次型的应用由于是*号标志,不再复习范围内,故省略.建议学员重点掌握二次型的定义和标准化。从题型来讲如果是较大的题则一定在二次型的标准化方面,关于二次型定义的出题可能包括单项选择题、多项选择题、判断题、不定项选择题以及问答题等题型。本节的重点是判定二次型的正定性，理解正定二次型的实际意义，难点是正定二次型正定性判定定理的证明及其二次型正定性的证明。
 
二、本章重要知识点
第一节  二次型的定义和矩阵表示
 (一) 二次型
        数域Ｆ上的ｎ个不定元的二次齐次多项式
+ +…+      
称为数域Ｆ上的一个ｎ元二次型，简称为二次型. 我们只研究实数域上的二次型，即实二次型。如果二次型只含有平方项，即 那么它称为标准二次型，简称为标准形。
    （二）二次型的矩阵  二次型可以写成 f=x^T A x的形式，其中A是实对称矩阵，成为二次型的矩阵
    （三）二次型的矩阵的秩  二次型的矩阵
例 1 写出下列二次型的矩阵
     (1) ；
      (2) ；
       (3) .
答案: (1)  (2) (3)
第二节  二次型和标准型
 
2.1  二次型和标准型定义
如果二次型只含有平方项，即   那么它称为标准二次型，简称为标准形。
即如下
如果二次型只含有变量的平方项，即
¦(y₁,y₂,...,y_n)=b₁y₁²+b₂y₂²+...+b_ny_n²

称为二次型的标准形。
2.2  合同矩阵的定义
设A，B为两个n阶方阵，如果存在n阶可逆方阵C，使得 C^TAC=B，则称A与B合同，或A合同于B，记为 ，并称由A到 B=C^TAC的变换为合同变换，称C为合同变换的矩阵。
2.3  二次型的标准型转化
方法1 运用正交变换
定理一 如果n阶实对称矩阵A的特征值为l1, l2,...,ln, 则必然存在正交矩阵Q,使得
 
Q^TAQ=以l1, l2,...,ln为对角元素的对角矩阵
定理二. 对于实二次型 ¦ (x1,x2,…,xn)一定能找到一个正交矩阵P，使得经过正交变换  X=PY，把二次型化为标准形 
       ¦=l1y₁²+l2y₂²+…+lny_n²
其中 l1, l2,...,l,n是实二次型 ¦ (x1,x2,…,xn)的矩阵A的全部特征值。
例1．求一个正交变换，把二次型 ¦(x₁,x₂,x₃)=2x₁² + 5x₂² + 5x₃²+4x₁x₂-4x₁x₃ - 8x₂x₃  化为标准形。
解： ¦ 的矩阵为
 先求到正交矩阵 使得

于是通过正交变换

或
 

就把二次型 ¦ 化成了标准型
¦(x₁,x₂,x₃)=2x₁² + 5x₂² + 5x₃²+4x₁x₂ - 4x₁x₃ - 8x₂x₃


=y₁²+y₂²+10y₃²   
方法2 运用配方方法
 
178页例题6.9说明：主要利用初中我们学习过的完全平方公式。
 
 
第三节  正定二次型和正定矩阵
 
(特殊说明:考虑到惯性定律和正定二次型的关系,上一节的惯性定律在本节中介绍)
 
   一. 定义
 
1 .正定二次型
设有实二次型 ，如果对任何x≠0都有f(x)>0(显然f(0)=0)，则称f为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0.
2 .负定二次型
对于实二次型 ，如果对任何x≠0都有f(x)<0，则称f为负二次型，并称矩阵A是负的，记之A<0.
    二.原理，公式和法则
 
 
惯性定律
设有实二次型 ，它的秩为r，有两个实可逆变换
x=Cy，及x=Pz
使
及
则 中正数的个数相等。即：实二次型的规范性是唯一的
正定二次型的确定
实二次型 为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正。
 
正定矩阵的判定
对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 
对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺次主子式都为正。即
 _。
负定矩阵的判定
对称矩阵A为负定矩阵的充分必要条件的：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。即

典型例题
例1 当 为何值时，二次型  为正定二次型？
 
解：二次型f的矩阵A为
由于3>0，
 
即
故当 时，f为正定二次型。
由于二次型f与对称矩阵是一一对应的关系，要证二次型正定，则可证明其对应的对称矩阵正定；反之若要证明对称矩阵为正定矩阵，也只须正它所对应的二次型为正定二次型。
 
 
例2 当取什么值时矩阵是正定的？
解  的各级顺序主子式为：
；   ； ；
       .
当且仅当,即,时,.这时正定。