本章内容特别重要，是分析系统的数学工具---拉普拉斯变换，控制系统分析的数学工具，建议学员在复习时，只需要熟练掌握拉氏变换的定义、典型函数的拉氏变换和拉氏变换的性质定理及应用即可，不必纠结于函数的变换过程，掌握了典型函数的拉氏变换和拉氏变换的性质，就可以求解非典型函数的拉氏变换和拉氏反变换，多做相关习题以熟练掌握正反变换，利用拉氏变换这个数学工具，可以方便地求解系统数学模型中的线性微分方程。从题型来讲包括单项选择题和填空题，偶尔会有解利用拉氏变换解微分方程的题目出现。
2.1  复数和复变函数
（一）复数的概念及其表示方法
1.了解复数的概念，掌握复数的三种表示方法及其相互之间的变换。
2.掌握复数的表示方法：
代数形式：均为实数。
几何形式：复平面上的点s（）或由原点出发的向量.
三角形式：
指数形式：.
（二）复变函数、极点与零点的含义
1.复变函数的定义：对于复数，若以s为自变量，按某一确定法则构成的函数G（s）称为复变函数，G（s）可写成，其中分别为复变函数的实部和虚部。
2.极点与零点的定义
零点：令复变函数G（s）的分子为零的s的值为函数的零点。
极点：令复变函数G（s）的分母为零的s的值为函数的极点。
 
2.2  拉氏变换与拉氏反变换的定义
1.拉氏变换的定义式：
    式中：s = s + jω (复数)，称为复频率或拉氏算子
                 f(t) 称为原函数，是 t 的函数。
                 F(s) 称为象函数，是s 的函数。
2. 拉氏反变换的定义：由象函数求原函数的变换称为拉普拉斯反变换，
记为：
记为：                    拉普拉斯变换对
                           拉普拉斯变换
                            拉普拉斯反变换。
 
2.3 典型时间函数的拉氏变换
下面列举的典型时间函数都是比较常用的函数，需要熟记典型时间函数的原函数表达式及其拉氏变换表达式。
1.阶跃函数   ，     F[1(t)]=1(s)=1/s
2.指数函数  ，
3. 正弦函数 ，
4. 余弦函数  ，
5. 单位斜坡函数 ，
6. 幂函数
2.4 拉氏变换的性质
1. 线性定理（叠加定理和比例定理）
若： 
则：叠加性，
比例性
线性
可见拉氏变换是一种线性变换。
2、微分定理

特别：若初值
则有，，，，利用这一定理可将系统微分方程转化为传递函数。
【例题】利用微分定理求f(t)=cosωt的拉氏变换。
  解析：由于，，
则
                     


3.位移定理（复域位移定理）

4. 延迟定理（时域位移定理）

【例题】求方波信号的拉氏变换。
解析：方波信号的函数表达式为  

由此可得单位脉冲信号的拉氏变换
单位脉冲信号的定义： 

δ函数是一抽象函数，可视为方波信号当的一种极限。

 
5.初值定理

利用此定理可由信号象函数求信号初值。
【例题】
6. 终值定理

利用此定理可求信号的稳态值，在后面的章节会有相关应用。
【例题】求信号的稳态值。
解析：
 
2.5 拉氏反变换的数学方法
书中介绍了三种拉氏反变换的数学方法，分别为查表法、部分分式展开法、使用MATLAB函数求解原函数法。要求掌握部分分式展开法，这也是经常考的知识点。
部分分式展开法：
对F(s)进行部分分式展开，

象函数的一般形式：
【例题】
解析：
，

有重根的情况：
【例题】
解：




 
2.6用拉氏变换解常微分方程
用拉氏变换解常微分方程：（注意计算题）
（1）对微分方程进行拉氏变换，将其转换成频域内输出的象函数的代数方程；
（2）将代数方程分解成部分分式的形式，并对其进行拉氏反变换，可得微分方程的时域解。
【例题】
解析：将方程式两边分别进行拉式变换得