内容串讲（第3章）

本章复习建议

本章在历年考试中，处于相当重要的地位。内容是系统的数学模型，对数学模型的含义要达到理解的程度，通过学习例题和反复做相关习题，掌握建立一些简单机、电系统的数学模型的方法，传递函数的定义、特点以及8个典型环节的表达式及其应用是本章的重点考查对象，这个几个方面的知识点比较容易理解和记忆，只要通过多做习题即可掌握，本章的另一个重要知识点是系统框图的表达特点及其简化，可能会考系统框图化简题，通过前面的学习，最后学员可对数学模型、传递函数与系统框图之间的关系有一个很好的理解，这也有助于学员对后面几个章节以及本门课程的理解。从题型来讲主要包括单项选择题、填空题，也可能会出现简答题和求解系统传递函数的计算题。
3.1概述
（一）系统数学模型的概念（了解数学模型的概念）
      （1）定义：描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程
      （2）建立数学模型的方法：解析法、实验法
      （3）数学模型的形式：
       时间域：微分方程、差分方程、状态方程
复数域：传递函数、结构图
       频率域：频率特性
（二）线性系统与非线性系统
简单地理解线性系统，即满足叠加原理的系统就是线性系统，反之即为非线性系统。本课程着重于经典控制论，主要的研究对象是线性系统。
对线性定常系统和线性时变系统的定义做到了解即可。
3.2 系统微分方程的建立
（一）机械系统
学会应用达朗贝尔原理建立机械系统的运动微分方程。
方法：达朗贝尔原理——作用于每一个质点上的合力与质点惯性力形成平衡力系。

【例题】图所示常见的质量-弹簧-阻尼系统，当系统有外作用力时，求系统的微分方程。

 
分析：确定系统的输入和输出：输入为     ,输出为
        对质量块进行受力分析如图所示，弹簧弹力为      ，阻尼器阻力为       
      根据牛顿第二定得运动方程式
                         
            整理得微分方程：
 
【例题】求图示系统的数学模型。
 
 
 
 
解析：以表示两弹簧串联的位移，取隔离体进行受力分析，弹簧的拉伸距离为，
 
 
消去得，系统的微分方程为

 
 
 
 
 
 

（二）电路网络
方法：基尔霍夫定律
电流定律：汇集到某节点的所有电流的代数和为0；
电压定律：闭合回路电势代数和等于沿回路电压降之和。
电阻：

 

电感：

 

电容：
【例题】 图所示R、L、C无源电路网络，求该网络关于输入电压和输出电压的微分方程。

 分析：确定系统的输入和输出：输入为,输出为，根据基尔霍夫电压、电流定律，列写关系式

 
 
 
 

         整理得微分方程式：

 
 
 
 

3.3 传递函数
（一）传递函数的定义及其特点
1.传递函数的定义:零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G（s）。
（零初始条件：t<0时，输入量及其各阶导数均为0；输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也均为0。）

 
2.传递函数的性质：
（1）传点函数的概念只适应于线性定常系统，它只反映系统在零初始条件下的动态性能；
（2）系统传递函数反映系统本身的动态特性，只与系统本身参数有关，与外界输入无关；
（3）对于物理可实现系统，传递函数分母中s的阶次n与分子阶次m的关系必然是n≥m，（因为实际的物理系统总存在惯性，输出不会超前于输入）；
（4）一个传递函数只能表示一对输入、输出之间的关系；
（5）传递函数不说明被描述的系统的物理结构，不同性质的物理系统，只要其动态特性相同，就可以用同一类型的传递函数来描述。
 
（二）传递函数的零点和极点
传递函数的零点和极点:传递函数分子多项式的根称为传递函数的零点；分母多项式的根称为传递函数的极点。（注意填空、选择题）

（三）传递函数的典型环节及其数学表示方法
①比例环节：
传递函数：                 
运动方程式：                
特点： 输出量与输入量成正比；不失真，不延迟。

K——环节的放大系数
②惯性环节：
传递函数：
K——环节的放大系数，T——环节的时间常数
运动方程式：
特点：  储能元件，输出落后于输入量，不立即复现突变的输入。

③积分环节：
传递函数：                     K——环节的放大系数

 

运动方程式：
特点： 累加特性，输出滞后于输入，具有记忆功能。

④微分环节：

特点： 微分环节能反映输入的变化趋势，增加系统的阻尼，强化噪声。
 
⑤振荡环节：

特点：

 
⑥延迟环节：

特点：输出滞后于输入但不失真。
 
3.4框图
（一）系统框图的结构要素


系统框图的优点：
系统框图形象直观地描述系统中各元素之间的相互关系及其功能，以及信号在系统的传递变换过程；可以由局部环节的方框联成整个系统的方框图，再将方框图简化，就易于写出整个系统的传递函数；可以揭示和评价每个环节对系统的影响。注意：即使描述系统的数学关系式相同，其系统的方框图也不一定相同。(注意选择题)
（二）动态系统的构成
任何动态系统和过程，都是由内部的各个环节构成，为了求出整个系统的传递函数，可以先画出系统的方框图，并注明系统各环节之间的联系。系统中各环节之间的联系归纳起来有三种：串联、并联、反馈）
（三）框图的等效变换及其简化
在简化过程中注意遵守两条基本原则。
原则：1）前向通道的传递函数保持不变；2）各反馈回路的传递函数保持不变
①串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。

②并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和

③反馈联接

④相加点移动

相加点合并，即类型相同且相邻的两个点（相加点或引出点）位置可以互换或合并。
⑤引出点前、后移动(分支点移动)

画系统方框图及求传递函数的步骤：
确定系统的输入与输出；
列写微分方程；
初始条件为零，对各微分方程取拉氏变换；
将各拉氏变换分别以方框图表示，然后连成系统，求系统传递函数。
【例题】试简化图示系统结构图，并求系统传递函数。

解析：将系统框图中间的分支点后移，根据前面的分析得，


 
 
 

3.5机、电系统的传递函数
机电系统的的传递函数，要求达到综合应用的层次，学员需要多做此类习题，会求各种机械系统、电网络系统的传递函数。举例说明：
1.电网络